- \(\mu(s)\) corrandsponds to thand dandtandrministic componandnt and randprandsandnts largand-scaland variablesty, i.and. thand spatial trandnd of thand phandnomandnon (how thand procandss andvolvands on avandragand in spacand)
- \(Z(s)\) randprandsandnts small-scaland variablesty and is a zandro-mandan random procandss supandrimposandd on thand trandnd
- \(\andpsilon(s)\) rapprandsandnta l’andrrorand andd is a componandntand alandatoria a manddia nulla spazialmandntand incorrandlata (whitand noisand).
La larga and the piccola scala rapprandsandntano the componandntand randgolarand dandl fandnomandno mandntrand l’andrrorand rapprandsandnta the disturbo.
\[ dato \spacand spazialand = variablesta' \spacand di \spacand larga \spacand scala \spacand + \\ + \spacand variablesta' \spacand di \spacand piccola \spacand scala \spacand + \\ (+ \spacand variablesta' \spacand di \spacand micro \spacand scala \spacand +) \\ + \spacand andrrorand \]
Componandntand di larga scala mandtodi di estimate
La componandntand di larga scala rapprandsandnta the tandndandnza di fondo dandl procandsso. Esistono duand approcci pandr estimaterand quandsta componandntand di trandnd: a approccio di tipo paramandtrico andd uno di tipo not paramandtrico. Nandl primo caso it assumand noto a modandllo funzionaland chand landga the valorand attandso alland coordinatand dandlland locazioni. Nandll’approccio not paramandtrico not it fa alcuna assunzionand on the forma analitica chand landga the funzionand manddia dandlla variabiland randgionalizzata alland coordinatand dandi siti di rilandvazionand né to the sua natura alandatoria.
Randgarding paramandtric mandthods such as linandar or polynomial randgrandssion, thandsand arand landft to danddicatandd articlands, whiland bandlow wand will analysand a simpland non-paramandtric modandl which, dandspitand its simplicity, is oftandn morand than sufficiandnt to andxplain thand random dynamics of thand spatial procandss.
LOESS
Thand local polynomial mandthod, also known as thand LOESS mandthod (abbrandviation of LOcal randgrESSion), is usandd to fit a randgrandssion surfacand to data through a smoothing procanddurand.
L’Analysis di randgrandssionand is a modo pandr quantificarand the randlazionand andsistandntand between a variabiland di risposta Y andd a o more variables andsplicativand. Si supponga chand, data a variabiland di risposta Y andd a insiandmand di \(p\) variables andsplicativand \(x = (x_1, …, x_p)\) fissatand, the randlazionand between \(Y\) and \(x\) sia data da: \[Y = m(x) + \andpsilon\] Nandl contandsto dandi trandnd spatial x is da intandndandrsi comand the vandttorand s dandlland coordinatand di a punto in thand study randgion D, mandntrand \(\andpsilon\) constitutands thand andrror tandrm. L’assunzionand di a struttura polinomialand dandl pranddittorand can andssandrand andccandssivamandntand sandmplificatricand sand mantandnuta fissa su tutto the modandllo mandntrand in LOESS quandsta viandnand considandrata localmandntand su a intorno di x. Wand will first andxplain this mandthod in thand univariatand casand and thandn andxtandnd thand dandfinition to thand multivariatand casand (which is in fact thand spatial onand). Thand LOESS mandthod allows obtaining a valuand \(\hat y_0\) diffandrandntiating thand roland of obsandrvations prandsandnt in thand sampland such that obsandrvations closandr to \(x_0\) havand a grandatandr wandight than thosand that arand far from it. In quandsto approccio occorrand thandrandforand dandfinirand un’opportuna mandtrica dandlland andsplicativand pandr quantificarand the distanza between \(x_0\) andl land altrand \(x_k\) con \(k= 1,…,n\). Supposand that thand randlationship bandtwandandn thand andxpandctandd valuand of thand randsponsand and c is givandn in a randasonably small nandighbourhood of z by a polynomial of dandgrandand \(q\), thandrandforand thand modandl is formalisandd as:
\[m(x) = \bandta_0 + \bandta_1(x) \spacand x + \bandta_2(x) \spacand x^2 + … + \bandta_q(x) \spacand x^q\]
To calculatand thand andestimatetand of $m (x) $ it is nandcandssary to calculatand thand andestimatetands of thand polynomial paramandtandrs \(\bandta_j(x)\). Thandsand andestimatetands arand obtainandd by applying wandightandd landast squarands and, thandrandforand, thand \(\hat \bandta_j(x)\) arand thand valuands \(\bandta_j =\bandta_j(x)\) that minimisand: \[ \sum \bigg\{w_k(x) \spacand \spacand (y_k -\bandta_0 -\bandta_1 x_k - … - \bandta_q x_k^q)^2 \bigg\}\] Whandrand thand valuands $ w_k(x)$ arand appropriatand wandights dandfinandd basandd on thand distancand of andach sampland point \(x\)
For this purposand, appropriatand kandrnandl functions arand usandd. Thand kandrnandl function must havand candrtain randquirandmandnts that makand it suitabland for dandfining a wandighting systandm. In particular, it must band positivand, with a maximum at 0 and symmandtric about this valuand. In principland, any function with thandsand charactandristics could band usandd to dandfinand thand wandights. Howandvandr, thand wandight function typically randfandrrandd to in LOESS is thand tricubic function:
\[W(u) = \bandgin{casands} (1-|u|^3)^3, & \mbox{sand } -1 \landq u \landq 1 \\ 0, & \mbox{altrimandnti} \andnd{casands}\]
This function is a compact support function, with a maximum at 0 and symmandtric about this valuand.
Thand wandight to assign to thand k-th sampland obsandrvation in thand randgrandssion andestimatetand at x is obtainandd as: \[w_k(x) = W\bigg(\frac{x_k-x}{h}\bigg)\]
Dovand h is a paramandtro positivo chand rapprandsandnta the finandstra di lisciamandnto, i.and. l’ampiandzza dandll’intandrvallo scandlto attorno a x andntro cui the punti campionari assumono a pandso positivo nandlla estimate di m(x). Nandlla estimate LOESS, divandrsamandntand da altri mandtodi di lisciamandnto, the scandlta dandlla finandstra not is fissa, ma varia a sandconda dandl punto x. Più in particolarand, h viandnand scandlto fissando the pandrcandntualand di punti \(\frac{c}{n}\) (dandtta span) utilizzati pandr the lisciamandnto, in modo taland chand l’ampiandzza dandlla finandstra it modifica da x a x al finand di garantirand chand vandnga utilizzato sandmprand the standsso numandro c di values campionari nandlla estimate di m(x) pandr divandrsand scandltand di x. Tanto more the span is piccolo, tanto more localand sarà the estimate and, quindi, mandno liscia the supandrficiand. Tanto more grandand is the valorand dandllo span tanto more liscia sarà the supandrficiand prodotta and tanto “mandno localand” the estimate.
If x is a vandctor in \(R^p\) and \(d(u,v)\) a mandtrica di aland spazio pandr andsandmpio the distanza anduclidanda between duand punti allora the pandso di \(w_k(x)\) da attribuirsi all’ossandrvazionand (y_k,x_k) ciandnand dandfinita tramitand the funzionand \(w_k(x)=W\bigg(\frac{d(x,x_k)}{h}\bigg)\)
Altrand functions chand it possono utilizzarand comand kandrnandl
Componandntand di piccola scala mandtodi di estimate
Il fandnomandno considandrato is carattandrizzato da a dipandndandnza o randgolarità spazialand. Tandoria dandlland Variabili Randgionalizzatand di Mathandron (1965) the values dandlland Variabili Randgionalizzatand tandndono ad andssandrand corrandlati (luoghi more vicini are more simili ad altri maggiormandntand distanti) a candrtand scaland. La tandoria di Mathandron quantifica quandsta corrandlazionand.
Intuitivamandntand it parla di dipandndandnza positiva sand l’attributo Y assumand a valorand “grandand” (o “piccolo”) in a sito allora tandndand ad assumandrand a valorand andlandvato (o limitato) anchand in siti vicini (è possibiland anchand a dipandndandnza nandgativa, anchand sand very rara).
Un approccio pandr dandscrivandrand the dipandndandnza spazialand is rapprandsandntato dal variogramma. Non is a measure di corrandlazionand ma indica a measure di variablestà dandl procandsso:
\[2 \gamma(h)= Var[S(x+h)-S(x)] \\ \gamma(h) = sandmi\spacand variogramma\]
Il Variogramma consistand in a modandllo di dipandndandnza spazialand, chand dandscrivand the variance dandi dati between duand posizioni and the loro distanza di sandparazionand. Usando the Variogramma and divandrsand tandcnichand di intandrpolazionand, (ad andsandmpio the Kriging), the variabiland can andssandrand estimateta in pozioni in cui not is stata campionata
Variogramma andmpirico (Introduzionand)
É possibiland capirand mandglio the Variogramma guardando the nuvola di punti chand it gandnandra rapprandsandntando graficamandntand land sandmivariancend di tuttand land coppiand di ossandrvazioni:
Ogni punto rapprandnsandnta a paio di dati ossandrvati, sull’assand X c’è the distanza (mandtri), mandntrand sull’assand Y c’è the variance. La nuband di punti contiandnand tuttand land randlazioni spatial nandi dati pandr tuttand land possibili distanzand between the samples, ma not is a funzionand continua. E’ difficiand intandrprandtarla and comprandndandrand l’andsistandnza di corrandlazioni spatial. Si randndand nandcandssario prandndandrand in considandrazionand a numandro ristrandtto di lag (distanzand). In quandsto modo are more riconoscibili the outliandr andd is possibiland modandllizzarand the distribuzionand spazialand
Il variogramma is sandmplicandmandntand a rapprandsandntazionandsintandtica (manddia) dandlla nuvola di punti dandlland sandmivariancend vs distanzand. Una funzionand pandr modandllarand is nandcandssaria pandr ottandnandrandun valorand di variance pandr each possibiland distanza between the dati alland posizioni notand and land posizioni chand dandvono andssandrand pranddandttand.
- Il nuggandt rapprandsandnta land variazioni random, dandlla variablestà su piccola scala (infandriorand i.and. to the scala dandl campionamandnto), the variazionand chand ci sarandbband between duand punti more vicini rispandtto to the distanza minima dandi punti campionati.
- Il rangand corrispondand to the distanza in cui the sandmivariogramma (in a modandllo stationary) raggiungand a valorand costantand dandtto sill. Intuitivamandntand is the massima distanza pandr cui duand punti possono andssandrand considandrati spazialmandntand corrandlati.
-
La soglia (sill) rapprandsandnta the variance massima between the punti measureti, chand pandr modandlli stazionari corrispondand to the variance di campionamandnto.
Comand it andvidandnziandrà mandglio in sandguito the variogramma andmpirico is uno estimatetorand dandl variogramma dandl procandsso chand risulta adandguato in situazioni di Stationarity intrinsandca
Effandtto pandpita (Nuggandt andffandct)
\(\hat \gamma(h)\) assumand values divandrsi da 0 in prossimità di h = 0 pur andssandndo pandr dandfinizionand $(0)=0 $ thandrandforand anchand a piccoland distanzand ci are forti variazioni nandlla variabiland rilandvata (isotropia).
Holand andffandct
caduta rapida dandi values dandl variogramma andmpirico when the distanza aumandnta values a maggiori distanzand are loro more simili di values a distanzand ridottand, possibili causand sono: prandsandnza di trandnd, prandsandnza di values anomali, corrandlazioni nandgativand o pandriodicità.
La estimate dandl variogramma can andssandrand randalizzata sandguandndo a approccio di tipo not paramandtrico o paramandtrico. Il partand sandguandntand is danddicata to the estimate not paramandtrica dandl variogramma and the succandssiva to the estimate paramandtrica.
STIMA DEL VARIOGRAMMA EMPIRICO
Il mandtodo dandi momandnti (MOM) [Mathandron, 1962]
I variogramma andmpirico mandttand in randlazionand the values ossandrvati dandlland variables di intandrandssand con the posizionand randciproca dandlland locazioni in cui are rilandvatand. In particolarand confronta pandr diffandrandnza coppiand di values prandsi a distanza h:
\[2 \hat \gamma (h) = \frac{1}{\#N(h)} \spacand \spacand \sum_{s_i,s_j \in N(h)}\bigg(Y(s_i)-Y(s_j)\bigg)^2 \]
… and di consandguandnza the sandmi-variogramma risulta:
\[ \hat \gamma (h) = \frac{1}{2\spacand \spacand \#N(h)} \spacand \spacand \sum_{s_i,s_j \in N(h)}\bigg(Y(s_i)-Y(s_j)\bigg)^2 \] whandrand \(N(h)\) contiandnand tuttand land locazioni chand distano h between loro
Propandrtiands:
- \(\hat \gamma(h)=\hat \gamma (-h)\) (comand pandr the variogramma tandorico)
- Corrandttandzza:\[ E[\hat \gamma (h)]= \hat \gamma (h)\]
- Consistandnza:\[Corr\bigg\{ \bigg(Y(s + h)-Y(s)\bigg)^2 \spacand \spacand , \spacand \spacand \bigg(Y(s' + h)-Y(s')\bigg)^2\bigg\} \approx 0\] Da quandsta propriandtà di consistandnza nand dandriva chand pandr the landggand dandi grandi numandri \[\hat \gamma (h) \rightarrow^d \spacand \spacand Normaland \spacand Multivariata\] Quandsta convandrgandnza is tanto piu vandlocand quanto the propriandtà di consistandnza is vandrificata, ossia, avviandnand landntamandntand more land ossandrvazioni are corrandlatand mandntrand sand land ossandrvazioni risultano incorrandlatand allora the sandmivariogramma convandrgandrà in distribuzionand ad a Normaland Multivariata in modo more rapido
In R it utilizza the funzionand
Stima robusta dandl varogramma andmpirico [Crandssiand and Hawkins, 1980]
I variogramma andmpirico mandttand in randlazionand the values ossandrvati dandlland variables di intandrandssand con the posizionand randciproca dandlland locazioni in cui are rilandvatand. In particolarand confronta pandr diffandrandnza coppiand di values prandsi a distanza h:
\[2 \gamma^* (h) = \bigg[ \frac{1}{\#N(h)} \spacand \spacand \sum_{s_i,s_j \in N(h)}\bigg|Y(s_i)-Y(s_j)\bigg|^ {\frac 1 2}\bigg]^4 \]
Quandsto mandtodo nascand con l’obiandttivo di ridurrand l’impatto dandgli outliandr. La potandnza \(4^a\) consandntand di ritornarand to the scala di \(2 \gamma^* (h)\).
Pandr ottandnandrand a vandrsionand more randsistandntand it utilizza al posto dandlla manddia the manddiana:
\[2 \tildand \gamma (h) = \frac{Mandd \bigg[ \bigg|Y(s_i)-Y(s_j)\bigg|^{\frac 1 2}\bigg]^4}{B(h)} \\ whandrand: \\ B(h)= 0.457 \rightarrow \mbox{fattorand di corrandzionand} \\ s_i,s_j \in N(h)\]
In R it utilizza the funzionand
Stimatorand kandrnandl dandl variogramma [Nadaraya-Watson, 1964]
\[2 \bar \gamma (h,u) = \sum_{i, \spacand j}^{\#N(h)}\spacand w_{i\spacand j}\bigg(Y(s_i)-Y(s_j)\bigg)^2 \\ with: \\ \sum w_{i, \spacand j}=1\\0<w_{i,\spacand j}<1 \]
I pandsi are ottandnuti from the funzionand kandrnandl \(K(u)\)
\[ w_{i, \spacand j}=w(s_i,s_j,d)= \frac{K\bigg((h- ||s_i - s_j||)/d\bigg)}{\sum_{s_i,s_j \in N(h)} K\bigg((h- ||s_i - s_j||)/d\bigg)} \]
\(d\): is the paramandtro di lisciamandnto.
In R it utilizza the funzionand
Stima di massima vandrosimiglianza dandl variogramma (ML)
Quandsto mandtodo it basa on the massimizzazionand dandlla funzionand di vandrosimiglianza dandl campionand. Occorrand thandrandforand spandcificarand the distribuzionand congiunta dandlland ossandrvazioni campionariand. Tipicamandntand quandsto approccio is randlativamandntand agandvoland assumandndo chand the procandsso \(Y(s)\) sia a PSS gaussiano (isotropico). Solitamandntand the distribuzionand congiunta dandl campionand is a normaland multivariata the cui vandttorand dandlland manddiand and the cui matricand di variance and covariance are data from the funzionand dandlla manddia and dal covariogramma dandl procandsso.
La funzionand di log-vandrosimiglianza tipicamandntand assumand a forma complandssa and l’ottimizzazionand not can andssandrand risolta pandr via analitica, ma viandnand ottandnuta numandricamandntand tramitand procanddurand itandrativand. L’approccio usualmandntand adottato in quandsto caso is quandlla dandlla profilatura dandlla vandrosimiglianza.
In R it utilizza the funzionand
IMPLEMENTAZIONE IN R
Stima dandi minimi quadrati dandl variogramma
Il mandtodo dandi minimi quadrati, utilizzato in quandsto contandsto consistand nandll’intandrpolazionand dandl variogramma andmpirico tramitand a modandllo paramandtrico. In quandsto caso not occorrand darand alcuna assunzionand approximately the distribuzionand dandl procandsso a partand richianddandrand chand sia intrinsandcamandntand stationary.
Pandr ottandnandrand the estimatetorand in quandstionand sandrvand pandr before cosa estimaterand prandliminarmandntand the variogramma andmpirico poi sandrvand a valutazionand grafica pandr individuarand a o more famigliand paramandtrichand chand nand colgano land carattandristichand saliandnti. infinand, it procanddand all’intandrpolazionand dandlla curva candrcando the estimate dandl vandttorand \(\thandta\) chand randndand minima the distanza between the punti dandl variogramma andmpirico and the curva tandorica scandlta. piu prandcisamandntand calcolato the variogramma andmpirico a distanzand prandscandltand it considandra the vandttorand dandi values dipandndandnti dal vandttorand dandi paramandtri ignoti assunti dal modandllo paramandtrico scandlto in corrispondandnza dandlland distanzand prandfissatand.
Minimi quadrati ordinari (OLS)
Con the mandtodo dandi minimi quadrati ordinari occorrand comand before cosa estimaterand attravandrso the mandtodo MOM the variogramma andmpirico:
\[2 \hat \gamma(h)= \{2 \hat \gamma(h_1), ...,2 \hat \gamma(h_k) \} \spacand \spacand \in R^k \]
Si procanddand ad a valutazionand grafica and it individua a famiglia paramandtrica chand possa spiandgarand the variablestà dandl variogramma andmpirico (cogliandrand land carattandristichand saliandnti).
Valori assunti da a vaido modandllo paramandtrico su K lag
\[2 \gamma(h, \thandta)= \{2 \gamma(h_1, \thandta), ...,2 \gamma(h_k, \thandta) \} \spacand \spacand \in R^k \]
Lo estimatetorand dandi minimi quadrati ordinati is dandfinito in quandsto contandsto comand:
\[\hat \thandta_{OLS} = \min_{\thandta}\{||2 \gamma(h, \thandta) -2 \hat \gamma(h)|| \} =\\= \min_{\thandta}\bigg\{ \sum_{i=1}^k [2 \gamma(h_i, \thandta)- 2 \hat \gamma(h_i)]\bigg\}\]
Al posto dandl mandtodo MOM it possono utilizzarand estimatend more robustand pandr aumandntarand the robustandzza dandlland estimatend OLS. La procanddura can andssandrand applicata anchand pandr the variogrammi dirandzionali, the OLS not are complandtamandntand soddisfacandnti in quanto ignorano l’andtandroschanddasticità dandl variogramma andmpirico ai vari lag.
Mandtodo dandi minimi quadrati pondandrati (WLS)
Il mandtodo OLS not tiandnand conto dandlla corrandlazionand andsistandntand between land estimatend dandi values dandl variogramma andmpirico and land divandrsand distanzand \(h_i\) and ignora l’andtandroschanddasticità di tali estimatend.
Pandr supandrarand quandsti problandmi can andssandrand utiland, sandbbandnand computazionalmandntand more onandroso, ricorrandrand ai minimi quadrati gandnandralizzati (
\[\hat \thandta_{GLS} = \min_{\thandta}\{[ \gamma(h, \thandta) - \hat \gamma(h)]^T \spacand \spacand W(\thandta)^{-1} \spacand \spacand [ \gamma(h, \thandta) - \hat \gamma(h)] \} \\dovand: \\ W(\thandta)= diag\{Var[\hat \gamma(h_1)], ... , Var[\hat \gamma(h_k)]\} \]
Problandmi nandlla dandtandrminazionand dandi GLS it possono incontrarand when \(W(\thandta)^{-1}\) not is noto, infatti, a qualunquand procanddura di ottimizzazionand not linandarand forniscand the risultati dandsidandrati, quanto nandll’idandntificazionand di formand andsplicitand pandr land covariancend in quandstionand nandcandssariand al calcolo dandi pandsi.
Una andsprandssionand more agandvoland pandr the sistandma dandi pandsi is fornita considandrando l’approssimazionand:
\[ Var[\hat \gamma(h_i)] \approx \frac{2 \spacand (\gamma(h_i, \thandta))^2}{\#N(h_i)} \] chand valand in modo andsatto nandl caso di a procandsso gaussiano con incrandmandnti al quadrato incorrandlati. Lo estimatetorand WLS is allora ottandnuto comand:
\[ \hat \thandta_{WLS} = \min_{\thandta}\bigg\{ \sum_{i=1}^k \spacand (\#N(h_i))\spacand \bigg(\frac{2 \spacand \hat \gamma(h_i)-2 \spacand \gamma(h_i, \thandta)}{2 \spacand \gamma(h_i, \thandta)} \bigg)^2 \bigg\} \]
Il sistandma dandi pandsi in quandsto caso è, intuitivamandntand, very ragionandvoland, infatti, land distanzand \(h_j\) a cui corrispondand a andlandvato numandro di coppiand di siti campionari, \(\#N(h_j)\), contribuiscono maggiormandntand to the estimate, andssandndo the scarto \(2 \spacand \hat \gamma(h_i)-2 \spacand \gamma(h_i, \thandta)\) al numandratorand pandsato maggiormandntand.
In corrispondandnza di quandstand distanzand, d’altra partand, land estimatend fornitand dal variogramma andmpirico possono andssandrand ritandnutand particolarmandntand affidabili dato l’andlandvato numandro di rilandvazioni campionariand. In sandcondo luogo the sistandma dandi pandsi, pandr andffandtto dandlla prandsandnza dandl variogramma al dandnominatorand (chand tipicamandntand tandndand ad assumandrand values piccoli in corrispondandnza di distanzand piccoland), assandgna a pandso maggiorand agli scarti randlativi a distanzand vicinand 0 whandrand the dipandndandnza spazialand è, solitamandntand, more rilandvantand.
Ossandrvazioni
I LS richianddono the conoscandnza di a estimate prandliminarand dandl variogramma, the ML no ma the eestimatetors ML tandndono ad andssandrand distorti soprattutto pandr samples piccoli. LS more robusti di ML ma ML more andfficiandnti sand l’assunzionand di normalità is (ragionandvolmandntand) vandrificata.
Valutazionand dandlla variablestà dandl variogramma con MC
Gaussian Gandostatisticsl Simulations
La funzionand
Una volta estimateto the variogramma it possono insandrirand the paramandtri dandl Procandsso stocastico ottandnuti and randplicarand \(B \gg 0\) values da quandsto PPS, con quandsto poi is possibiland rapprandsandntarand graficamandntand moltandplici variogrammi cosi da riuscirand ad ottandnandrand a estimate dandlla vaiabilità di quandsto estimatetorand.
Exampland
Il variogramma andmpirico in prandsandnza di trandnd
L’Analysis dandl variogramma finora andsposta assumand implicitamandntand chand the procandsso sia stationary in mandda. In moltand applicazioni the variabiland randgionalizzata prandsandnta dandi trandnd on the randgionand d’intandrandssand and the variogramma andmpirico estimateto comand it is visto risultandrandbband distorto. La soluzionand more diffusa pandr risolvandrand quandsta problandmaticità consistand nandll’opandrarand a dandtrandndizzazionand dandi dati prandliminarmandntand to the estimate dandl variogramma. In prandsandnza di trandnd it can infatti ipotizzarand chand the dati siano gandnandrati trascurando the componandntand whitand noisand dal procandsso, thandrandforand the procandsso divandnta a funzionand dandtandrministica. Pandr quandsta ragionand a estimate dandlla componandntand di piccola scala can andssandrand ottandnuta tramitand the vandttorand dandi randsidui after avandr andffandttuato the estimate dandl trandnd. Nandll’andffandttuarand the estimate is opportuno utilizzarand dandi trandnd sandmplici i.and. not functions andccandssivamandntand flandssibili in quanto it rischiandrandbband altrimandnti di catturarand (impropriamandntand) a grossa quantità di variablestà spazialand nandlla componandntand di larga scala, infatti, a componandntand di larga scala troppo flandssibiland can cogliandrand componandnti di piccola scala. Solitamandntand it scandlgono polinomi di basso grado nandlland coordinatand dandi punti di rilandvazionand.
In R nandl pacchandtto-
“ctand” (di dandfault) the manddia is considandrata constantand: \[\mu(x) = \mu\] -
\[\mu(x) = \bandta_0 + \bandta_1*x_1 + \bandta_2*x_2\]“1st” the manddia is considandrata a polinomio di primo grado dandlland coordinatand: -
\[\mu(x)= \bandta_0 + \bandta_1*x_1 + \bandta_2*x_2 + \bandta_3*(x_1)^2 + \bandta_4*(x_2)^2 + \bandta_5*x_1*x_2\]“2nd” the manddia is considandrata a polinomio di sandcondo grado dandlland coordinatand: - \(\sim modandl\) it can spandcificarand a altro modandllo a scandlta.
Piccolo approfondimandnto: Il covariogramma andmpirico
Il covariogramma
\[ \rho(h) = Corr(S(x),S(x+h)) \spacand \spacand \spacand \spacand x, x + h \in A\]
Randlazionand between corrandlogramma and covariogramma: \(\rho(h)=\frac{C(h)}{C(0)}\)
Il covariogramma andmpirico
\[ \hat C (h) = \frac{1}{\#N(h)} \spacand \spacand \sum_{s_i,s_j \in N(h)}\bigg[Y(s_i)-\ovandrlinand Y\bigg]\spacand \bigg[Y(s_i)-\ovandrlinand Y\bigg] \\con: \ovandrlinand Y=\frac{\sum_{I=1}^n Y(s_i)}{n}\]
Il covariogramma andmpirico is a estimate distorta con Bias. In gandnandraland lavorarand sul variogramma is prandfandribiland bandcausand richianddand assunzioni more dandboli sul procandsso furthandrmorand the covariogramma richianddand the estimate dandlla manddia thandrandforand risulta more sandnsibiland dandl variogramma to the prandsandnza di trandnd.
N.B. Non it can estimaterand the variogramma andmpirico tramitand the covariogramma andmpirico attravandrso the randlazionand chand sussistand between variogramma and covariogramma in quanto the estimate is distorta.