Inferenza previsiva con l’approcio Bayesiano
A partire dalla posterior si può fare inferenza strutturale (cioè sui parametri).
Vediamo ora come fare inferenza previsiva.
Stima puntuale
Ogni indice di sintesi (valore atteso, mediana a posteriori, moda ecc.) della posterior è una stima puntuale bayesiana.
Stima intervallare
CS: Più semplice ma più imprecisa
HPD: Più precisa ma più lunga
Credible set
CS (credible set): al fine di avere una coppia di affidabilità. Il credible set è un intervallo nel dominio di una distribuzione di probabilità a posterior utilizzato per avere stime intervallari. Credible set è l’analogo degli intervalli di confidenza della statistica frequentista.
Highest Posterior Density
HPD (highest posterior density): fisso un numero positivo \(h > 0\)
Ottengo \(S_h = \{ \theta : \pi(\theta | \underline x) \geq h\}\)
Se \(h : S_h\) ha associato una probabilità a posteriori che è minore di \(1- \alpha\) allora scelgo un \(h^| < h\) altrimenti scelgo un \(h^| > h\)
Verifica d’ipotesi
In ambito Bayesiano ottengo una suddivisione del supporto delle v.c. \(\theta\), ma grazie alla posterior lo spazio parametrico diventa probabilizzato e quindi nella verifica di ipotesi posso calcolare la probailità sottostante all’ipotesi nulla e quella dell’ipotesi alternativa, quella con probabilità maggiore sarà quella che accetterò.
Ipotesi:
\[H_0 : \theta \in \Theta_0\] \[H_1 : \theta \in \Theta_1\]
Calcolo probailità condizionate alle ipotesi:
\[P(H_0 | \underline x )=P(\theta \in \Theta_0 | \underline x)\] \[P(H_1 | \underline x )=P(\theta \in \Theta_1 | \underline x)\]
Quella maggiore corrisponde all’ipotesi accettata.