Definizione generale

Si tratta di una forma in cui si riescono ad inserire tutti i modelli di serie storiche lineari e ciò permette di utilizzare ottimi algoritmi sia per stimare i modelli che per stimare le componenti non osservabili.

La forma state-space è composta da due set di equazioni:

• Equazioni di misurazione (o di osservazione): mettono in relazione lineare una serie storica (o un vettore di serie storiche) con \(m\) variabili di stato che contengono le componenti non osservabili nel caso degli UCM e altre componenti che aiutano a costruirle.\[ \underline{Y_t} = \underline{c_t} + \underline{Z_t} \space \underline{\alpha_t} + \underline{\epsilon_t} \space, \space \space con \space \space \underline{\epsilon_t} \sim WN(\underline{0}, H_t) \] con \(\alpha_t\) vettore di stato che non deve avere necessariamente la dimensione della serie storica.
• Equazioni di stato (o di transizione): informano circa la legge del moto, cioè come \(\alpha_t\) evolve nel tempo (si tratta di un VAR(1) con coefficienti che possono evolvere nel tempo).\[ \underline{\alpha_{t+1}} = \underline{d_t} + \underline{T_t} \space \underline{\alpha_t} + \underline{\nu_t} \space, \space \space con \space \space \underline{\nu_t} \sim WN(\underline{0}, Q_t) \]Tale forma è chiamata forma futura perchè a sinistra c’è solo il tempo \(t+1\) e a destra il tempo \(t\).

La forma state-space è completata dalla specificazione dei primi due momenti di \(\alpha_1\): \[ \underline{a}_{1|0} = E(\underline\alpha_1) \\ P_{1|0}=E[(\underline\alpha_1-\underline\alpha_{1|0})(\underline\alpha_1-\underline\alpha_{1|0})^T \space]\]

Nel caso di componenti stazionarie si inseriscono la media e la varianza di tali componenti, nel caso invece di componenti non stazionarie (come trend o la stagionalità) si possono inserire condizioni diffuse, cioè una media arbitraria e delle varianze infinite (c’è infinita incertezza rispetto al valore che la v.c. può assumere). La possibilità di porre condizioni diffuse garantisce che definire \(\alpha_{1|0}\) e \(P_{1|0}\) non sia un limite ma anche l’algoritmo usato non lo consente si può fissare una varianza così alta da esse indistinguibile da infinito da punto di vista pratico.

Condizioni tecniche:

• Prima condizione: \(E(\underline\epsilon_t \space \underline\nu_t^T)=G_t\) e si suppone che \(G_t=0\) per semplicità;
• Seconda condizione: \(E(\underline\epsilon_t \space \underline\nu_s^T)=0\) per ogni \(t \neq s\);
• Terza condizione: \(E[(\underline\alpha_1-\underline\alpha_{1|0})\space \underline\epsilon_t^T]=0\);
• Quarta condizione: \(E[(\underline\alpha_1-\underline\alpha_{1|0})\space \underline\nu_t^T]=0\).