Complete spatial randomness (CSR)

La CSR è un’ipotesi da verificare prima di procedere a ulteriori analisi su un point pattern (PP), descrive un processo punto in cui gli eventi punto si verificano all’interno di una determinata area di studio in modo completamente casuale. È sinonimo di un processo spaziale omogeneo di Poisson.

La CSR è vista come la situazione “intermedia” tra strutture spaziali regolari e strutture spaziali clusterizzate. Occorre quindi:

quantificare la situazione di CSR
valutare gli “scostamenti” da questa situazione in una direzione o nell’altra
se lo “scostamento” è elevato si respinge l’ipotesi

Tipi di test:

Test basati sui quadrat counts
Test basati sulla distanza

test grafici
test Monte Carlo

Test basato sui quadrat counts

Si individuano $A_1, ..., A_m$ operando una tassellatura di $W$ tramite una collezione di celle quadrate di area a

$N(A_i)$: numero aleatorio di eventi in $A_i$ La CSR implica che $N(A_i) \sim Pois(\lambda a)$.

Il test confronta il numero osservato $n_i$ di eventi in $A_i$ con il numero atteso (costante) sotto $H_0$

La statistica test racchiude al suo interno l’indice di dispersione ossia il rapporto tra la varianza e la media:

\[ X^2 = \sum_{i=1}^m \frac{(n_i- \overline n)^2}{\overline n} = (m-1) \space \space I \] Asintoticamente se $\overline n$ non è troppo piccolo può essere approssimato:

\[X^2|H_0 \sim \chi^2_{m-1}\]

Dove $n_i$ sono il numero degli eventi nelle i-esime celle, $\overline n = \frac{\sum n_i}{m}$ $I$ = indice di dispersione, ossia:

\[I= \frac{S^2}{\overline n}\]

Se $I=1$ allora la media srà uguale alla varianza campionaria e quindi si ha evidenza di distribuzione Poisson (CSR)
Se $ I 1$ allora ci si trova in una situazione di sovra-dispersione e gli eventi tendono ad attrasri disponendosi in cluster
Se $I \ll 1$ allora ci si trova in una situazione di sotto-dispersione e gli eventi tendono a respingersi disponendosi in modo regolare (questa situazione è difficile da diagnosticare)

Test basati sulle distanze

Confronto tra la funzione di ripartizione campionaria (empirica) di una qualche distanza relativa ai punti del PP e quella attesa sotto CSR (quindi sotto $H_0$).

Tipi di distanza tra punti del point pattern

Inter event distances
Nearest neighbour distance
Point to Nearest Event distance

Nearest neighbour distance

Funzione di ripartizione di R sotto $H_0$ (ipotesi di CSR):

\[ G(r)= 1-\exp(- \lambda \pi r^2) \]

Funzione di ripartizioe empirica di R valutata in r:

\[ \hat G_0(r) = \sum_{i=1}^n I(r_i \le r)/n \]

dove $r_i$: distanza fra l’evento $s_i$ e l’evento ad esso più vicino in $W$

Test grafico

Nel test grafico si esegue un confronto tra $G(t)$ e $\hat G_0(r)$

Test grafico con sviluppi di Monte Carlo

Si fanno $B\gg0$ replicazione di $\hat G_0(r)$ e si verifica se (e per quali i) la curva empirica esce dall’inviluppo.

La procedura non è un test di significatività in senso usuale ma risulta molto utile nel caso di processi complessi per cui la funzione di ripartizione può non essere nota analiticamente ma si è in grado di simularne traiettorie.

Una curva empirica che fuoriesca per larghi tratti dall’inviluppo sotto $H_0$ indica che il PP osservato supporta poco l’ipotesi CSR.

Vantaggi

flessibilità sulla scelta della statistica test
test valido per campioni di ampiezza qualsiasi (approssimazione numerica legata al numero K di iterate effettuate)

Svantaggi

bassa potenza: il test ha un’ipotesi alternativa generica (per esempio alternative possibili per CSR sono sia PP non omogenei che regolari o clusterizzati)
arbitrarietà nella scelta di K