PROCESSI DI PUNTO SPAZIALI
Aspetti generali
Definizione: un PPS \(N = {s_1, s_2,...s_n : s_i \in W}\) è una collezione finita o numerabile di locazioni aleatorie (eventi) di una regione \(W \subseteq R^2\)
Dove W viene chiamata finestra del processo e, il point pattern, \({s_1, s_2,...,s_n}\) costituisce un insieme di realizzazioni di punti aleatori (non prefissati) di W
Da questa definizione deduciamo che ci sono due elementi di aleatorietà:
Numero di eventi
Locazione degli eventi
Tipologie di PPS in base al supporto del processo
PPS finiti
PPS infiniti
Tipologie di PPS in base alla modalità di osservazione del point pattern
PPS sampled
PPS mapped
Intensità di un PPS
Notazione N(B): numero di eventi nell’insieme \(B\) di \(R^2\) (misura conteggio), PPS planari misura conteggio localmente finita e \(\sigma-additiva\) \[|B|:area \space di \space B\]
La misura di intensità di un PPS è il valore atteso di \(N(B)\): \[E[N(B)]= \mu(B)\] “parametro” del processo dipendente dall’insieme B considerato.
Sotto condizioni di regolarità esiste una funzione deterministica, \(\lambda(s)\), tale che:
\[\mu(B)=\int_B{\lambda(s) ds}\] \(\lambda(s)\): funzione di intensità
Obiettivi dell’analisi di un PP spaziale
- Valutazioni sulla presenza di pattern (cluster/regolarità) spaziali
- Stima dell’intensità con cui gli eventi si presentano nello spazio
Processi di poisson
Il modello stocastico più semplice per un modello di punto planare è il processo omogeneo di Poisson. Un processo di Poisson, dal nome del matematico francese Siméon-Denis Poisson, è un processo stocastico che simula il manifestarsi di eventi che siano indipendenti l’uno dall’altro e che accadano continuamente nel tempo e/o nello spazio. Il processo di Poisson è uno dei processi di conteggio più utilizzati. Di solito è usato in scenari in cui si sta contando le occorrenze di determinati eventi che sembrano accadere ad una certa velocità, ma completamente a caso (senza una certa struttura).
Esempi di utilizzo di questo processo:
- il numero di incidenti stradali in un sito o in un’area;
- la posizione degli utenti in una rete wireless;
- le richieste di singoli documenti su un server web;
- lo scoppio delle guerre;
- telefonate che arrivano ad un centralino;
- difetti di fabbricazione.
Processi di Poisson Omogenei (HPP: Homogeneous Poisson Process)
L’idea di questo modello è che gli eventi (punto di interesse) si verificano in modo completamente indipendentemente l’uno dall’altro. Questa mancanza di interazione tra i punti è chiamata completa casualità spaziale.
Definizione formale
Sia \(N(B)\) il numero di eventi nell’insieme \(B\) di \(R^2\) (ossia la misura di conteggio) e \(|B|\) l’area di \(B\) allora per ogni \(B\) (subregion) insieme limitato di \(W\) incluso in \(R^2\) si ha che \(N(B) \sim P(\eta)\) dove \(\eta = \lambda \space |B|\) e che per qualsiasi \(B_1, ..., B_k\) tale che \(B_i \cap B_j = \emptyset\) con \(i\) diverso da \(j\) si ha che \(N(B_1), ... , N(B_k)\) sono v.a. indipendenti.
In termini meno formali un processo di punto viene definito omogeneo di Poisson se per ogni subregione \(B\) che prendo nella finestra del processo \(W\) il numero degli eventi presenti nella suregione si distribuisce come una Distribuzione di Poisson che dipende da un certo parametro \(\lambda\) (chiamato intensità del processo) moltiplicato per l’ampiezza della regione presa in analisi \(|B|\) inoltre deve essere anche vero che se si prendono due subregioni di \(W\) \(B_1\) e \(B_2\) disgiunte tra loro il numero degli eventi presenti nelle due regioni deve essere indenpendente.
Per molti anni, quasi tutti i metodi disponibili per l’analisi statistica dei modelli di punti planari si sono basati sul presupposto che i punti in questione costituiscano la realizzazione di un processo planare omogeneo di Poisson. Sebbene esista oggi una grande varietà di modelli alternativi di processo di punto, il processo omogeneo di Poisson fornisce ancora un modello di riferimento di base rispetto al quale confrontare altri modelli.
Processi di Poison non Omogenei (IHPP - Inhomogeneous Poisson Process)
In casi reali come ad esempio per i difetti di fabbricazione alcune regioni sono più “esposte” al fenomeno di altre presentando una certa “sistematicità” e quindi l’intensità del processo varia nello spazio. \[\lambda \rightarrow \lambda(s) \]
In termini statistici in realtà anche nei processi omogenei variava nello spazio ma variava con una distribuzione uniforme quindi in modo del tutto casuale mentre nei IHPP,
